मान लीजिए $z = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right)^5 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right)^5$. यदि $R(z)$ और $I(z)$ क्रमशः $z$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाते हैं,तो:

$\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। यदि $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega^4)^m$ है,तो $m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान क्या है?

यदि $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ और $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ है,तो $\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $1, \omega$ और $\omega^2$ इकाई के घनमूल हैं। $(1-\omega+\omega^{-1})^5-2(1+\omega-\omega^{-1})^4$ का मान क्या है?

यदि $x = a + b$,$y = a\alpha + b\beta$,और $z = a\beta + b\alpha$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं,तो $xyz$ =

एक नियमित $10$-भुज (decagon) पर विचार करें जिसके शीर्ष इकाई वृत्त पर स्थित हैं। एक शीर्ष को स्थिर रखकर,अन्य $9$ शीर्षों तक सीधी रेखाएँ खींचें। उन्हें $L_1, L_2, \ldots, L_9$ कहें और उनकी लंबाइयों को क्रमशः $l_1, l_2, \ldots, l_9$ द्वारा दर्शाएं। तब,गुणनफल $l_1 \times l_2 \times \ldots \times l_9$ है